Question

已知中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓經過點M（1，），斜率為的直線經過橢圓的下頂點D和右焦點F，A、B為橢圓上不同于M的兩點。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線AB過點F且不與坐標軸垂直，求線段AB的中垂線與軸的交點的橫坐標的取值范圍。

Answer 1

 （0，）

、解：（1）根據題意，設橢圓的方程為，半焦距為，則D（0，），F（，0），
因為直線DF的斜率為，所以，①
因為M（1，）在橢圓上，所以，②
又，③由①②③得：
所以橢圓的標準方程為
（2）設直線AB的方程為，代入，
得，
設A（），B（），AB為中點N（），
則，，
∴，，
∴AB的中垂線方程為，
令，得，
又，∴，
∴線段AB的中垂線與軸的交點的橫坐標的取值范圍是（0，）。