Question

已知斜率為-2的直線與橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞0)交于A，B兩點，且線段AB的中點為E(

1

2

，

1

2

)．直線l₂與y軸交于點M（0，m）（m≠0），與橢圓C交于相異兩點P，Q，O為坐標原點，且

PM

=λ

MQ

，

OP

+λ

OQ

=4

OM

，λ∈R．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求λ的值；
（3）求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）平方差法：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程作差，據中點坐標公式、直線斜率公式即可求得a²值；
（2）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），l₂：y=kx+m，由

PM =λ MQ OP +λ OQ =4 OM

，用橫坐標表示出來即可求得λ值；
（3）將直線l₂的方程與橢圓方程聯立消y，由（2）的結論及韋達定理可得k，m的關系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范圍；

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=1，y1+y2=1，

y1-y2

x1-x2

=-2．
∵

x12

a2

+y12=1，

x22

a2

+y22=1，
∴兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，即

x1+x2

a2

+(y1+y2)

y1-y2

x1-x2

=0，即

1

a2

+1×(-2)=0，得a2=

1

2

，
所以橢圓C的方程為2x²+y²=1．
（2）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），l₂：y=kx+m（∵l₂與y軸相交，∴l₂的斜率存在）．
由

PM =λ MQ OP +λ OQ =4 OM

，得

(-x3，m-y3)=λ(x4，y4-m) (x3+λx4，y3+λy4)=(0，4m)

，得

-x3=λx4 y3+λy4=4m

，
即

x3=-λx4，① (kx3+m)+λ(kx4+m)=4m，②

，將①代入②得（λ-3）m=0，
∵m≠0，∴λ=3．
（3）將y=kx+m代入2x²+y²=1，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
∵λ=3，
∴由

x3=-3x4 x3+x4= -2km k2+2 x3x4= m2-1 k2+2

消去x₃、x₄得，k2=

2(1-m2)

4m2-1

．
由△＞0得k²＞2（m²-1），即

2(1-m2)

4m2-1

＞2（m²-1），即

(m2-1)m2

4m2-1

＜0，即

(m+1)(m-1)

(2m+1)(2m-1)

＜0，解得-1＜m＜-

1

2

，或

1

2

＜m＜1．
所以m的取值范圍為-1＜m＜-

1

2

，或

1

2

＜m＜1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，弦長公式、韋達定理、判別式是解決該類問題的基礎知識，應熟練掌握，涉及弦中點問題常考慮“平方差法”．