Question

已知斜率為2的直線l雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交A、B兩點，若點P（2，1）是AB的中點，則C的離心率等于（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據AB的中點P的坐標，表示出斜率，從而得到關于a、b的關系式，再求離心率．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

a2

-

y12

b2

=1，①；

x22

a2

-

y22

b2

=1，②，
①-②得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，
∵點P（2，1）是AB的中點，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∵直線l的斜率為2，∴

y1-y2

x1-x2

=2，
∴a²=b²，c²=2a²，
∴e=

2

．
故選A．

點評：本題考查了雙曲線的簡單性質，解題的關鍵是利用“設而不求”法求直線l的斜率．