Question

（2012•鄭州二模）已知斜率為2的直線l過拋物線y²=px（p＞0）的焦點F，且與y軸相交于點A，若△OAF（O為坐標原點）的面積為1，則P=

4

4 5

．

Answer 1

分析：由題意，經過F且斜率為2的直線l方程為y=2（x-

p

4

），與拋物線方程消去y得關于x的一元二次方程，運用根與系數的關系并結合拋物線的定義，可得|AB|=

5

4

p．用點到直線的距離公式算出原點O到直線AB的距離d=

5

10

p，根據△OAF面積為1列式，解之可得實數p的值．

解答：解：∵拋物線y²=px（p＞0）的焦點為F（

p

4

，0），
∴經過F且斜率為2的直線l方程為y=2（x-

p

4

）
由

y2=px y=2(x- p 4 )

，消去y得4x²-3px+p²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=

3

4

p
結合拋物線的定義，得|AB|=x₁+x₂+

p

2

=

5

4

p
將直線y=2（x-

p

4

）化成一般式，得2x-y-

p

2

=0
∴原點O到直線AB的距離d=

|- p 2 |

5

=

5

10

p
由此可得，△OAF的面積為S_△OAF=

1

2

×|AB|×d=1，即

1

2

×

5

4

p×

5

10

p=1
解之得p=

4

4 5

故答案為：

4

4 5

點評：本題給出拋物線的焦點弦與原點構成面積為1的三角形，求參數p之值，著重考查了拋物線的方程、簡單幾何性質和直線與拋物線的關系等知識，屬于中檔題．