Question

設函數，其中.
（Ⅰ）若函數的圖象在點處的切線與直線平行，求實數的值；
（Ⅱ）求函數的極值.

Answer 1

（Ⅰ）解：函數的定義域是.      ……………… 1分
對求導數，得.  ………… 3分
由題意，得，且，
解得.                       ………………………… 5分
（Ⅱ）解：由，得方程，
一元二次方程存在兩解，，………… 6分
當時，即當時，
隨著x的變化，與的變化情況如下表：   

	↘	極小值	↗

 即函數在上單調遞減，在上單調遞增.
所以函數在存在極小值；   …………… 8分
當時，即當時，
隨著x的變化，與的變化情況如下表：   

	↗	極大值	↘	極小值	↗

即函數在，上單調遞增，在上單調遞減.
所以函數在存在極小值，在存在極大值；            ………………………… 10分
當時，即當時，
因為（當且僅當時等號成立），
所以在上為增函數，故不存在極值；     ……………12分
當時，即當時，
隨著x的變化，與的變化情況如下表：   

		極大值		極小值

即函數在，上單調遞增，在上單調遞減.
所以函數在存在極大值，在存在極小值；
綜上，當時，函數存在極小值，不存在極大值；
當時，函數存在極小值，存在極大值 ；
當時，函數不存在極值；
當時，函數存在極大值，存在極小值.

本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用，以及運用到導數求解函數極值的綜合運用
（1）先分析定義域，然后求解導數得到再給定點的導數值，進而確定切線方程 。
（2）需要對參數a進行分類討論，判定單調性，進而得到不同情況下的極值問題。