Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AC的中點，∠ABC=90°，AA1=AB=2，BC=3．

（1）求證：AB1∥平面BC1D；
（2）求三棱錐D﹣BC1C的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設B1C與BC1相交于點O，連接OD．

∵四邊形BCC1B1是平行四邊形

∴點O為B1C的中點，又D為AC的中點

∴OD∥AB1．

∵OD平面BC1D，AB1平面BC1D

∴AB1∥平面BC1D

（2）解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，側棱CC1⊥平面ABC

故CC1為三棱錐C1﹣BCD的高，CC1=A1A=2．

∵D為AC的中點，∠ABC=90°

∴S△BCD= S△ABC= ×（ BC×AB）= ．

∴VD﹣BC1C=VC1﹣BCD= S△BCDCC1= × ×2=1．

【解析】（1）設B1C與BC1相交于點O，連接OD，則由中位線定理可知OD∥AB1 ， 故而AB1∥平面BC1D；（2）把△BCD看做棱錐的底面，則棱錐的高為CC1 ， 代入體積公式計算即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．