Question

【題目】已知 ，分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn).
（1）若點(diǎn) 是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)， ,求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn) 的直線(xiàn) 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) ，且 為銳角（其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn) 的斜率 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：易知 .
，設(shè) ，則
，又 .
聯(lián)立 ，解得 ，故
（2）解：顯然 不滿(mǎn)足題設(shè)條件，可設(shè) 的方程為 ，
設(shè) ，
聯(lián)立

由
，得 .①
又 為銳角 ，

又

.②
綜①②可知 的取值范圍是
【解析】（1）根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，求得橢圓的a，b，c，可得左右焦點(diǎn)，設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程可得P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線(xiàn)l方程為y=kx+2，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），與橢圓聯(lián)立，注意到交于不同的兩點(diǎn)A、B，△＞0且∠AOB為銳角（其中O為作標(biāo)原點(diǎn)），利用韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．