Question

【題目】設函數 ．
（1）若當 時，函數 的圖象恒在直線 上方，求實數 的取值范圍；
（2）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：令 ，則 ， ，
①當 時，由于 ，有 ，
于是 在 上單調遞增，從而 ，因此 在 上單調遞增，即 ；
②當 時，由于 ，有 ，
于是 在 上單調遞減，從而 ，
因此 在 上單調遞減，即 不符；
③當 時，令 ，當 時，
，于是 在 上單調遞減，
從而 ，因此 在 上單調遞減，
即 而且僅有 不符.
綜上可知，所求實數 的取值范圍是 .
（2）解：對要證明的不等式等價變形如下：
對于任意的正整數 ，不等式 恒成立，等價變形
相當于（2）中 ， 的情形，
在 上單調遞減，即 ；
取 ，得：都有 成立；
令 得證．
【解析】本題主要考查利用導數在函數中求參數范圍的應用，以及不等式的綜合應用。（1）本題主要利用轉化的思想，先把圖像上方的函數轉化為新函數求最值的問題，根據構造的函數對m進行求解，要兩次利用導數來判斷新函數的單調性，然后利用單調性求解參數m的取值范圍。（2）要證明不等式，要對不等式進行等價變形，仍然要利用函數的單調性求解。