Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，E，F分別是棱CD、C₁D₁的中點，長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動，另一個端點N在底面A₁B₁C₁D₁上運動，則線段MN的中點P的軌跡（曲面）與二面角D-C₁D₁-B₁所圍成的幾何體的體積為______．

Answer 1

依題意知|FP|=

1

2

|MN|=1，
因此點P的軌跡是以點F為球心、1為半徑的球的

1

4

．
∴所求幾何體的體積是

1

4

×

4

3

π×1³=

π

3

．
故答案為：

π

3

．