Question

【題目】設曲線（），是直線上的任意一點，過作的切線，切點分別為、，記為坐標原點.

（1）設，求的面積；

（2）設、、的縱坐標依次為、、，求證：；

（3）設點滿足，是否存在這樣的點，使得關于直線的對稱點在上？若存在，求出的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，點D的坐標為

【解析】

（1）由題意求出拋物線方程，得到，對函數求導，設切點坐標，，由題意得到切線、的方程根據在兩切線上，求出直線的方程，聯立直線與拋物線，根據弦長公式，以及三角形面積公式，即可求出結果；

（2）設，，類比（1）求出直線、的方程，聯立方程求出點縱坐標，根據題意，即可證明結論成立；

（3）先假設存在點，使得關于直線的對稱點在上，設，，，，由題意得到的中點和點都在直線上，列出方程組，根據題意求出或；分別討論和兩種情況，即可得出結果.

（1）因為，且是直線上的任意一點，

所以，所以，曲線，即，所以，

設，，其中，，則，，

所以切線的斜率為，切線的斜率為，

故切線的方程為：，即，

同理：切線的方程為，

因為在兩切線上，所以，

故、都在直線，即上，

所以，直線的方程為，

由可得：，所以，

因此，

又到直線的距離為：，

所以；

（2）如圖所示：

設，，則直線的方程為：，即，

同理可得直線的方程為：，

由，解得，由于點的縱坐標為，

所以，即；

（3）假設存在點，使得關于直線的對稱點在上，

設，，，，

由題意得：，則的中點的坐標為，

又，

直線的方程為：，

由點在直線上，并注意到點也在直線上，

即，，

兩式相減可得：；

若在拋物線上，則，

因此或，即或；

①當時，，此時，滿足題意；

②當時，對于，此時，

，又，

由，所以，

即，矛盾；

對于，因為，此時直線平行于軸，

又，所以直線與直線不垂直，與題設矛盾；

所以時，不存在符合題意的點；

綜上所述，僅存在一點，滿足題意.