Question

【題目】如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°，

（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
（2）求cos∠COD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設平面PAB與平面PCD的交線為l，則

∵AB∥CD，AB平面PCD，∴AB∥平面PCD

∵AB面PAB，平面PAB與平面PCD的交線為l，∴AB∥l

∵AB在底面上，l在底面外

∴l與底面平行；

（2）解：設CD的中點為F，連接OF，PF

由圓的性質，∠COD=2∠COF，OF⊥CD

∵OP⊥底面，CD底面，∴OP⊥CD

∵OP∩OF=O

∴CD⊥平面OPF

∵CD平面PCD

∴平面OPF⊥平面PCD

∴直線OP在平面PCD上的射影為直線PF

∴∠OPF為OP與平面PCD所成的角

由題設，∠OPF=60°

設OP=h，則OF=OPtan∠OPF=

∵∠OCP=22.5°，∴

∵tan45°= =1

∴tan22.5°=

∴OC= =

在Rt△OCF中，cos∠COF= = =

∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12

【解析】（1）利用線面平行的判定與性質，可證平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；（2）先作出OP與平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點，以及對空間中直線與平面之間的位置關系的理解，了解直線在平面內—有無數個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點．