Question

【題目】已知函數（其中 ，為自然對數的底數）．

（Ⅰ）若函數無極值，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，證明：．

Answer 1

【答案】（1）實數的取值范圍是；（2）見解析.

【解析】分析：（1）因為函數無極值，所以在上單調遞增或單調遞減.即或在時恒成立，求導分析整理即可得到答案；

（2）由（Ⅰ）可知，當時，當時，，即.欲證 ，只需證即可，構造函數= （），求導分析整理即可.

詳解：（Ⅰ）函數無極值， 在上單調遞增或單調遞減.

即或在時恒成立；

又，

令，則；

所以在上單調遞減，在上單調遞增；

，

當時，，即，

當時，顯然不成立；

所以實數的取值范圍是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當時，當時，，即.

欲證 ，只需證即可.

構造函數= （），

則恒成立，故在單調遞增，

從而.即，亦即.

得證.