Question

如圖，PAB是圓O的割線，AB為圓O的直徑，PC為圓O的切線，C為切點，BD⊥PC于D，交圓O于點E，PA=AO=OB=1，
（1）求∠P的大小，
（2）求DE的長．

Answer 1

分析：（1）根據連接圓心與切點所得的半徑與切線垂直，得到直角三角形，根據斜邊的長度是直角邊的2倍，根據直角三角形的三角函數定義，得到要求的角是30°．
（2）根據直角三角形中邊長和角度，得到BD與CD的長度，根據DC是圓的一條切線，DEB是圓的一條割線，應用切割線定理，列出比例式得到結果．

解答：解：（1）連接OC，
∵PA=AO=OC=1，
∴PO=2OC，
∴∠P=30°，
（2）∵在直角三角形中，PB=3，∠P=30°，
∴BD=

3

2

，
PD=

3 3

2

，
∴CD=

3

2

，
∵DC是圓的一條切線，DEB是圓的一條割線，
∴DC²=DE•DB
∴DE=

DC2

DB

=

3 4

3 2

=

1

2

答：（1）角P的度數是30°，
（2）DE的長是

1

2

點評：本題考查與圓有關的比例線段，考查特殊的直角三角形中邊和角和角間的關系，本題是一個基礎題，解題的關鍵是抓住含有30°角的直角三角形的特征．