Question

如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上的點，PA垂直于圓O所在平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F
求證：（1）BC⊥AF；
（2）平面AEF⊥平面PAB；
（3）AB=2，BC=

2

，PB=

6

，求三棱錐P-ABC的全面積．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA垂直于圓O所在平面，易得PA⊥BC，再由圓周角定理的推論可得AC⊥BC，結合線面垂直的判定字定理可得BC⊥平面PAC，進而由線面垂直的性質得到BC⊥AF；
（2）由已知BC⊥AF，AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，可得AF⊥平面PBC，進而得到AF⊥PB，結合AE⊥PB及線面垂直的判定定理可得PB⊥平面AEF，再由面面垂直的判定定理即可得到平面AEF⊥平面PAB；
（3）由已知中AB=2，BC=

2

，PB=

6

，我們求出各個面的面積，進而求出各個面積的和，即可得到答案．

解答：證明：（1）由題意可得：

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC ∴PA⊥BC

又AB是圓O的直徑 ∴AC⊥BC

又AC，PA在平面PAC中交于A

∴BC⊥平面PAC 又AF?平面PAC ∴BC⊥AF

（2）由BC⊥AF，AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C
∴AF⊥平面PBC
又PB?平面PBC

∴AF⊥PB 又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A ∴PB⊥平面AEF 又PB?平面PAB ∴平面PAB⊥平面AEF

（3）∵AB=2，BC=

2

，PB=

6

，
∴AC=

2

，PA=

2

，PC=2
∴S_△ABC=1，S_△PAC=1，S△PAB=

2

，S△PCB=

2

∴S=2+2

2

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質，棱錐的表面積，其中熟練掌握空間線面垂直、面面垂直、線線垂直之間關系的轉化是解答本題的關鍵．