Question

【題目】已知橢圓M： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，左焦點F1到直線 的距離為3，圓N的方程為（x﹣c）2+y2=a2+c2（c為半焦距），直線l：y=kx+m（k＞0）與橢圓M和圓N均只有一個公共點，分別設為A，B．
（1）求橢圓M的方程和直線l的方程；
（2）在圓N上是否存在點P，使 ，若存在，求出P點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓M： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，左焦點F1到直線 的距離為3，

∴由題意知 ，解得a=2，c=1．

∴b= = ，

∴橢圓M的方程為 + =1，

圓N的方程為（x﹣1）2+y2=5，

∵直線l：y=kx+m（k＞0）與橢圓M只有一個公共點，

∴由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，①

∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，

整理得m2=3+4k2，②

由直線l：y=kx+m與N只有一個公共點，得 = ，即k2+2km+m2=5+5k2，③

將②代入③得km=1，④由②④得k= ，m=2．

∴直線l：y= x+2．

（2）將k= ，m=2代入①可得A（﹣1， ），

又過切點B的半徑所在的直線l′：y=﹣2x+2，

與直線l的方程聯立得B（0，2），

設P（x0，y0），由 =2 ，得 ，

化簡得7 +7 +16x0﹣20y0+22=0，⑤

又P（x0，y0）滿足 =4，⑥

將⑤﹣7×⑥并整理得3x0﹣2y0+5=0，

即y0= ，⑦

將⑦代入⑥并整理得13 +22x0+9=0，

解得x0=﹣1或x0=﹣ ，

所以存在P（﹣1，1）或P（﹣ ， ）滿足條件．

【解析】（1）由橢圓的離心率為 ，左焦點F1到直線 的距離為3，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓M的方程；由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判別式、點到直線距離公式能求出直線l的方程．（2）將k= ，m=2代入，得A（﹣1， ），過切點B的半徑所在的直線l′：y=﹣2x+2，與直線l的方程聯立得B（0，2），設P（x0，y0），由 =2 ，得7 +7 +16x0﹣20y0+22=0，再由P（x0，y0）滿足 =4，能求出存在P（﹣1，1）或P（﹣ ， ）滿足條件．