Question

如圖：是⊙的直徑，是弧的中點(diǎn)，⊥，垂足為，交于點(diǎn).

（1）求證：=;
（2）若=4，⊙的半徑為6，求的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）要證，只要證，一種方法這兩個(gè)角能否放在一對(duì)全等三角形中，為此我們連接交于，由圓的性質(zhì)知，這里就有，要證的角對(duì)應(yīng)相等了，當(dāng)然也可以證明RtΔCEO≌RtΔBMO，從而，也能得到，由于在圓中.我們還可以交圓于點(diǎn)，可得到到，那么等弧所對(duì)的圓周角相等，結(jié)論得證；（2）由（1）可知，下面在中可求得，在中可求得.
試題解析：（1）證法一:連接CO交BD于點(diǎn)M，如圖1   1分
∵C為弧BD的中點(diǎn)，∴OC⊥BD
又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO     2分
∴∠OCE=∠OBM              3分
又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC        4分
∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF           5分

證法二：延長(zhǎng)CE交圓O于點(diǎn)N，連接BN，如圖2  1分
∵AB是直徑且CN⊥AB于點(diǎn)E
∴∠NCB=∠CNB              2分
又∵弧CD=弧BC,∴∠CBD=∠CNB   3分
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF             4分

∴CF=BF                5分
（2）∵O,M分別為AB,BD的中點(diǎn)
∴OM=2=OE
∴EB=4                            7分
在Rt△COE中，            9分
∴在Rt△CEB中，           10分