Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足為E，∠ABC＝45°，過E作AD的垂線交AD于F，交BC于G，過E作AD的平行線交AB于H.求證：FG²＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.

Answer 1

見解析

因為AC⊥BD，故△AED、△BEC都是直角三角形．
又EF⊥AD，EG⊥BC，
由射影定理可知AF·DF＝EF²，
BG·CG＝EG².
又FG²＝(FE＋EG)²＝FE²＋EG²＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG，∠ABC＝45°，如圖，過點H、A分別作直線HM、AN與BC垂直，易知，AH＝FE，BH＝EG，故AH·BH＝2EF·EG.所以
FG²＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.