Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，為橢圓上位于第一象限上的點，為橢圓的上頂點，直線與軸相交于點，，的面積為6.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓有且只有一個公共點，設橢圓的兩焦點到直線的距離分別是，，試問是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，4

【解析】

（Ⅰ）根據離心率為和的面積為6得到關于方程組，解方程組即得橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，；當直線的斜率存在時，設：，聯立直線和橢圓方程得到，再化簡即得.綜合得為定值.

解：（Ⅰ），，.

由，可知為的中點，，

，即，

，即，，，

所以橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，：或：，.

當直線的斜率存在時，設：，

聯立方程組，

消去整理得，

直線與橢圓有且只有一個公共點，

，

即，

.

綜合得為定值4.