Question

【題目】已知函數，函數，，.

（1）求函數的單調區間；

（2）若，對恒成立，求的取值范圍.（為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，對分、兩種情況討論，利用導數可求得函數的單調區間；

（2）由題意可知對恒成立，取可得，由可得出，構造函數，利用導數求出函數在上的最大值，由此可求得實數的取值范圍.

（1），，則，

當時，，則函數在上單調遞增；

當時，令，可得；令，可得.

此時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上所述，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）由可得對恒成立，

取，可得，

因，則，，

則，，，

設，，

令，可得或.

當或時，；當時，.

所以，函數在上遞減，在上遞增，在上遞減.

所以，所以.

因此，實數的取值范圍是.