Question

【題目】已知圓，動點，線段QF與圓F相交于點P，線段PQ的長度與點Q到y軸的距離相等．

（Ⅰ）求動點Q的軌跡W的方程；

（Ⅱ）過點作兩條互相垂直的直線與W的交點分別是M和N（M在N的上方，A，M，N為不同的三點），求向量在y軸正方向上的投影的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意可得點Q的軌跡滿足拋物線的定義，確定定點及定直線即可求得軌跡方程；（Ⅱ）設出直線AM的方程，與拋物線方程聯立得關于y的一元二次方程，利用韋達定理可得，由可得，利用對勾函數的單調性可求得向量在y軸正方向上的投影的范圍.

（Ⅰ）由題知點Q到F的距離等于Q到y軸的距離加2

所以等于Q到直線的距離，由拋物線的定義可知：

點Q的軌跡W是以為焦點，為準線的拋物線，

所以動點Q的軌跡W的方程為．

（Ⅱ）設直線AM的方程為，與聯立，得

，

則，即，

∵，∴或，

設，則，即，

，直線AN的方程為，則，

則向量在y軸正方向上的投影為

因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，即，

向量在y軸正方向上的投影的取值范圍為.