Question

【題目】已知函數 ， 則方程g[f（x）]﹣a=0（a為正實數）的實數根最多有（　　）個．
A.6個
B.4個
C.7個
D.8個

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函數 ， ，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數．
故f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（2）=﹣3，且函數的值域為R．
由函數g（x）的圖象可得，當x=﹣3或x=時，g（x）=1．
①當a=1時，若方程g[f（x）]﹣a=0，則：
f（x）=﹣3，此時方程有2個根，或f（x）= ， 此時方程有3個根，
故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有5個根．
②當0＜a＜1時，方程g[f（x）]﹣a=0，則：
f（x）∈（﹣4，﹣3），此時方程有1個根，或f（x）∈（﹣3，﹣2），此時方程有3個根
故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有4個根．
③當a＞1時，方程g[f（x）]﹣a=0，則：f（x）∈（0，），或f（x）∈（ ， +∞），
方程可能有4個、5個或6個根．
故方程g[f（x）]﹣a=0（a為正實數）的實數根最多有6個，
故選 A．