Question

【題目】已知函數f(x)＝－x2＋2x－3.

(1)求f(x)在區間[2a－1,2]上的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)-3.

【解析】試題分析:(1)對函數配方可得對稱軸為,對區間端點與1的大小進行比較,分類討論得出函數的最小值;(2)對分段函數在和時分別求出最大值,最后得出函數的最大值.

試題解析:

(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，

∴當2a－1≤0，即a≤時，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；

當0＜2a－1＜2，即<a<時，f(x)min＝f(2)＝－3.

所以g(a)＝

(2)當a≤時，g(a)＝－4a2＋8a－6單調遞增，∴g(a)≤g＝－3；

又當<a<時，g(a)＝－3，∴g(a)的最大值為－3.

點睛: 二次函數在閉區間上必有最大值和最小值，它只能在區間的端點或二次函數圖象的頂點處取到；常見題型有：（1）軸固定區間也固定；（2）軸動（軸含參數），區間固定；（3）軸固定，區間動（區間含參數）. 找最值的關鍵是：（1）圖象的開口方向；（2）對稱軸與區間的位置關系；（3）結合圖象及單調性確定函數最值.