Question

在平面直角坐標系中，已知定點A（－2，0）、B（2，0），異于A、B兩點的動點P滿足，其中k₁、k₂分別表示直線AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上異于點B的任意一點，直線AN與（I）中軌跡E交予點Q，設直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M（異于點B），點C（1，0），求證：|CM|·|CN| 為定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）根據斜率公式，有斜率乘積等于整理即得，注意；（Ⅱ）設直線的方程，與橢圓方程組成方程組，消去，由韋達定理求點的坐標，根據直線與以為直徑的圓的另一個交點為，得，從而得到直線的方程，確定恒過的定點.證明三點共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,,即為定值.
試題解析：(Ⅰ)設,由得  ,其中,
整理得點的軌跡方程為.       (4分)
（Ⅱ）設點，則直線的方程為，
解方程組，消去得，
設，則，，
從而，又，

直線與以為直徑的圓的另一個交點為，，
方程為,即,過定點,        (9分)
定值證法一:即三點共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,,為定值.                                  (12分)
定值證法二:直線:,直線:,  
聯立得,, 
,為定值.       (12分)