Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點F，與拋物線交于兩點A，B，

（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求的面積S的最大值；
（3）設P是拋物線上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

Answer 1

（1）（2）（3），設
直線PA的方程，

試題分析：設
（1）由條件知直線由消去y，得………1分
由題意，判別式由韋達定理，
由拋物線的定義，從而所求拋物的方程為………3分
（2）設。由（1）易求得
則，點C到直線的距離
將原點O（0，0）的坐標代入直線的左邊，得
而點C與原點O們于直線的同側(cè)，由線性規(guī)劃的知識知
因此……6分由（1），|AB|=4p。

由知當…8分
（3）由（2），易得設。
將代入直線PA的方程
得同理直線PB的方程為
將代入直線PA，PB的方程得




點評：本題（1）中應用焦點弦公式計算較簡單，（2）（3）對于高二期末考試難度大，不建議采用