Question

【題目】在中,已知，M是BC的中點.

(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值；

(2)若O是線段AM上任意一點,且，求的最小值；

(3)若點P是邊BC上的一點,且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】

（1）利用向量夾角公式即可求出向量與向量的夾角的余弦值;

（2）根據已知條件求出線段AM的長，利用平行四邊形法則得到，,

表示成關于的二次函數,求二次函數的最小值,即可求出結果;

（3）先用數量積定義把轉化為的三角函數的表達式,再利用基本不等式求的最小值,從而得所求.

（1）設向量與向量的夾角為,

由，

(),

=

,同理

,

向量與向量的夾角的余弦值.

（2），設,

則,而,

=

==

當時,的最小值是;

（3）設,則

=

當且僅當時,等號成立,

的最小值為.