Question

【題目】已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，過拋物線的焦點且斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點，若．

(1)求拋物線的方程；

(2)若AB的中垂線交拋物線于C、D兩點，求過A、B、C、D四點的圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先聯立直線方程和拋物線方程并消去，利用韋達定理結合弦長公式可計算.也可以利用焦點弦公式（是焦點弦的傾斜角）來計算.

（2）由（1）得到的中點的坐標，故可得的直線方程，聯立的直線方程和拋物線的方程后可得的中點（即為所求圓的圓心），再利用弦心距和弦長計算半徑后可得圓的標準方程.

（1）法一：據題意設拋物線方程為.

則，即.

設，.則

∴，∴，

法二：，∵ ，∴.

∴，∴ ，∴.

（2）由（1）知，中點，∴的方程為：，即

.

設，.

∴，∴的中點.由（1）知道的中點為，所以，∴所求圓的方程為.