Question

【題目】已知：函數，其中．

（Ⅰ）若是的極值點，求的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

試題（Ⅰ）由若是的極值點，可得，對求導，，將代入就可求出；（Ⅱ）根據，進行討論，首先討論時，．故的單調增區間是；單調減區間是，再討論時，令，得，或，再比較0與的大小關系，依次分，，，幾種情況進行討論，從而得到函數的單調區間．（Ⅲ）由（Ⅱ）知時，在上單調遞增，由，知不合題意．當時，在的最大值是，由，知不合題意．

當時，在單調遞減，可得在上的最大值是，符合題意．本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值，考查分類討論思想在解題中應用．

試題解析：（Ⅰ）．依題意，令，解得．

經檢驗，時，符合題意．

（Ⅱ）① 當時，．

故的單調增區間是；單調減區間是．

② 當時，令，得，或．

當時，與的情況如下：

	↘		↗		↘

所以，的單調增區間是；單調減區間是和

當時，的單調減區間是．

當時，，與的情況如下：

	↘		↗		↘

所以，的單調增區間是；單調減區間是和．

③ 當時，的單調增區間是；單調減區間是．

綜上，當時，的增區間是，減區間是；

當時，的增區間是，減區間是和；

當時，的減區間是；

當時，的增區間是；減區間是和．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知時，在上單調遞增，由，知不合題意．

當時，在的最大值是，

由，知不合題意．

當時，在單調遞減，

可得在上的最大值是，符合題意．

所以，在上的最大值是時，的取值范圍是．