Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的極值;

（2）當時，證明：;

（3）設函數的圖象與直線的兩個交點分別為，，的中點的橫坐標為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）取得極大值，沒有極小值（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）利用導數求得函數的單調性，再根據極值的定義，即可求解函數的極值；

（2）由，整理得整理得，設，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．

（3）不妨設，由（1）和由（2），得，利用單調性，即可作出證明．

（1）由題意，函數，則，

當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

所以當時，取得極大值，沒有極小值;

（2）由得

整理得，

設，

則，

所以在上單調遞增，

所以，即，

從而有．

（3）證明：不妨設，由（1）知，則，

由（2）知，

由在上單調遞減，所以，即，

則，所以.