Question

【題目】已知函數， ，（其中， 為自然對數的底數， ……）.

（1）令，若對任意的恒成立，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，設為整數，且對于任意正整數， ，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由對任意的恒成立，即，利用導數討論函數的單調性，求出最小值，即可得到實數的值；（2）由（1）知，即，

令（， ）則，所以，令，求和后利用放縮法可得，從而可得的最小值.

所以，.

試題解析：（1）因為

所以，

由對任意的恒成立，即，

由，

（i）當時， ， 的單調遞增區間為，

所以時， ，

所以不滿足題意.

(ii)當時，由，得

時， ， 時， ，

所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以的最小值為 .

設，所以，①

因為

令得，

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以，②

由①②得，則.

（2）由（1）知，即，

令（， ）則，

所以，

所以

，

所以，

又，

所以的最小值為.