Question

【題目】已知函數，且數列滿足.

（1）若數列是等差數列，求數列的通項公式；

（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設等差數列的公差為，由已知條件得出，由和可得出關于和的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數列的通項公式可求得；

（2）推導出，可知數列中的奇數項和偶數項分別成以為公差的等差數列，以此求出數列的通項公式，然后分為奇數和偶數兩種情況討論，結合恒成立，利用參變量分離法可求得的取值范圍.

（1）設等差數列的公差為，依題意得，故，

則，解得，

因此，數列的通項公式為；

（2）由（1）知，當時，，①，，②

兩式相減得，

數列是以為首項，為公差的等差數列，數列是以為首項，為公差的等差數列

又 ，

當為偶數時，；

當為奇數時，.

.

因為對任意的都有成立，

當為奇數時，恒成立，

在為奇數時恒成立，即，；

同理當為偶數時，恒成立，

在為偶數時恒成立，.

綜上所述，的取值范圍是.