Question

【題目】大氣污染是我國目前最突出的環境問題之一，其中工廠廢氣是大氣污染的重大污染源之一。工廠廢氣未經凈化處理排放至空氣中，除了對空氣質量造成嚴重破壞，還會對人體的健康造成重大威脅。長期生活在污染的空氣中，生活質量及身體健康將急劇下降。某工廠因為污染問題需改進技術，2019年初購進一臺環保新機器投入生產，機器的成本價為36萬元，第年該機器包括維修費和機器護理費用在內，每年另需投人費用萬元，購進該機器后每年盈利20萬元．

（1）問該機器投入生產第幾年，工廠開始盈利（即總收入大于所有投人的費用）?

（2）由于機器使用年限越大維修等費用越高，所以工廠決定當年平均利潤最大時將該機器以5萬元低價處理，問使用該機器幾年后工廠年平均利潤最大?此時工廠獲得的總利潤為多少?

Answer 1

【答案】（1）3

（2）經過6年后年平均利潤最大，工廠獲得的總利潤為萬元

【解析】

（1）根據題意求得總收入減去機器成本和每年的額外投入費用之和，即為盈利的表達式，解不等式即可確定開始盈利的時間.

（2）根據（1）中盈利表達式，即可求得年平均利潤的表達式，再根據基本不等式的性質即可確定年平均利潤最大及總利潤.

（1）設引進該機器第年開始盈利，盈利為y元，

則

由，得．

解得，

即引進該機器第3年，工廠開始盈利．

（2）①平均盈利為，

當且僅當，即時，年平均利潤最大，

所以引進該機器經過6年后年平均利潤最大，

工廠獲得的總利潤為萬元．