Question

【題目】函數滿足，且、時，成立，若對恒成立.

（1）判斷的單調性和對稱性；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由可得出函數的圖象關于直線對稱，然后分和兩種情況討論，得出與的大小，可得出該函數在區間上的單調性，再結合對稱性，可得出該函數在區間上的單調性；

（2）由，結合（1）中的結論可得出，由此得出（i）或（ii）恒成立，分別求出對應的實數的取值范圍，由此可得出實數的取值范圍.

（1）由，可得，

所以，函數的對稱軸為.

當時，；當時，.

所以，函數在上為增函數，在上為減函數；

（2）由，

可得，

即（i），

或（ii）恒成立.

由（i）得恒成立，

，故恒成立，無解.

由（ii）得恒成立，

可得，即，解得.

綜上所述，實數的取值范圍是.