Question

【題目】設，若存在，使得，且對任意，均有（即是一個公差為的等差數列），則稱數列是一個長度為的“弱等差數列”.

（1）判斷下列數列是否為“弱等差數列”，并說明理由.

①1，3，5，7，9，11；

②2，，，，.

（2）證明：若，則數列為“弱等差數列”.

（3）對任意給定的正整數，若，是否總存在正整數，使得等比數列：是一個長度為的“弱等差數列”？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）①是，②不是,理由見解析

（2）證明見解析

（3）存在，證明見解析

【解析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；
（2）根據題意找出符合條件的為等差數列即可；
（3）首先，根據，將公差表示出來，計算任意相鄰兩項的差值可以發現不大于．那么用裂項相消的方法表示出，結合相鄰兩項差值不大于可以得到，接下來，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開可以發現多項式的最高次項為，而已知，因此在足夠大時顯然成立．結論得證.

解：（1）數列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數列”
取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；
數列②2，，，，不是“弱等差數列”
否則，若數列②為“弱等差數列”，則存在實數構成等差數列，設公差為，
，
，

又

與矛盾，

所以數列②2，，，，不是“弱等差數列”；
（2）證明：設，
令，取，則，
則，

，
，
就有，命題成立．
故數列為“弱等差數列”；

（3）若存在這樣的正整數，使得
成立．
因為，，
則，其中待定．

從而，

又，

∴當時，總成立．
如果取適當的，使得，又有

所以，有
，
為使得，需要，
上式左側展開為關于的多項式，最高次項為，其次數為，
故，對于任意給定正整數，當充分大時，上述不等式總成立，

即總存在滿足條件的正整數，使得等比數列：是一個長度為的“弱等差數列”.