Question

【題目】如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=

∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

(1)在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結論.

(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意及圖形取AB的中點F，AC的中點M，得到四邊形EMCD為矩形，利用線面平行的判定定理證得線面平行；

（Ⅱ）由題意利用二面角的定義得到二面角的平面角，然后在三角形中解出即可.

試題解析：

(1)線段BC的中點就是滿足條件的點P.

證明如下：

取AB的中點F，連接DP，PF，EF，

則FP∥AC，F(xiàn)P=AC，

取AC的中點M，連接EM，EC，

因為AE=AC且∠EAC=60°，

所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.

所以四邊形EMCD為矩形，

所以ED=MC=AC.

又因為ED∥AC，

所以ED∥FP且ED=FP，

所以四邊形EFPD是平行四邊形，所以DP∥EF，

而EF平面EAB，DP平面EAB，

所以DP∥平面EAB.

(2)過C作CG∥AB，過B作BG∥AC，CG∩BG=G，連接GD.

因為ED∥AC，所以ED∥BG，

所以B，E，D，G四點共面，

所以平面EBD與平面ABC相交于BG，

因為CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，

所以CD⊥平面ABGC，

又因為BG平面ABGC，

所以BG⊥CD，

又BG⊥GC，CD∩GC=C，

所以BG⊥平面CDG，

所以BG⊥DG，

所以∠DGC是平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ，設AB=AC=AE=a，

則GC=AB=a，DC=EM=a，

所以GD==a，

所以cosθ=cos∠DGC==.