Question

【題目】已知函數f（x）=ln（x+1）+ax2 ， a＞0．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）在區間（﹣1，0）有唯一零點x0 ， 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，x＞﹣1，

令g（x）=2ax2+2ax+1，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），

若△＜0，即0＜a＜2，則g（x）＞0，

當x∈（﹣1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，

若△=0，即a=2，則g（x）≥0，僅當 時，等號成立，

當x∈（﹣1，+∞）時，f'（x）≥0，f（x）單調遞增．

若△＞0，即a＞2，則g（x）有兩個零點 ， ，

由g（﹣1）=g（0）=1＞0， 得 ，

當x∈（﹣1，x1）時，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（x1，x2）時，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x∈（x2，+∞）時，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．

綜上所述，

當0＜a≤2時，f（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增；

當a＞2時，f（x）在 和 上單調遞增，

在 上單調遞減．

（2）解：由（1）及f（0）=0可知：僅當極大值等于零，即f（x1）=0時，符合要求．

此時，x1就是函數f（x）在區間（﹣1，0）的唯一零點x0．

所以 ，從而有 ，

又因為 ，所以 ，

令x0+1=t，則 ，

設 ，則 ，

再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）單調遞減，

又因為 ， ，

所以e﹣2＜t＜e﹣1，即 ．

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間；（2）求出 ，得到 ，令x0+1=t，則 ，設 ，根據函數的單調性證明即可．