Question

【題目】設命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命題q：實數x滿足|x﹣3|≤1．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0

當a=1時，1＜x＜3，

即p為真時實數x的取值范圍是1＜x＜3．

由|x﹣3|≤1，得﹣1≤x﹣3≤1，得2≤x≤4，

即q為真時實數x的取值范圍是2≤x≤4，

若p∧q為真，則p真且q真，

所以實數x的取值范圍是2≤x＜3．

（2）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，p是q的充分不必要條件，

即pq，且qp，設A={x|p}，B={x|q}，則AB，

又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x＞4 或 x＜2}，

則3a＞4且a＜2，其中a＞0，

所以實數a的取值范圍是 ．

【解析】（1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數x的取值范圍；（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．