Question

【題目】綜合題。
（1）證明：Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m；
（2）證明：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n2n﹣1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：三種方法：法一：直接代公式：Cnm+Cnm﹣1= + = + = = ，

又Cn+1m= ，∴Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m．

法二：（構造）從一個裝有n個不同的紅球和1個黃球的口袋中取出m個不同球，共得到 個不同組合，我們可將這些組合分成兩類：一類全是紅球，則從n個紅球中取，可得到 個不同組合；一類含有黃球，則從n個紅球中再取出m﹣1個，則得到 個不同組合，所以 ．

法三（構造）分別求（1+x）n+1和（1+x）（1+x）n的展開式中xm的系數，

（1+x）n+1的展開式中xm的系數為 ；

（1+x）（1+x）n=（1+x）（ ）的展開式中xm的系數為1× +1× = + ，

∵（1+x）n+1=（1+x）（1+x）n，∴展開式中xm的系數也相等，∴

（2）證明：法一：倒序相加法：f（n）=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，f（n）=nCnn+（n﹣1） …+3Cn3+2Cn2+Cn1，∴2f（n）=nCnn+（n﹣1+1） +…+（1+n﹣1） +n

=n（ + +…+ + ）=n2n，∴f（n）=n2n﹣1．

法二：公式法：利用公式 ，則Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n +n +…+n =n（ + +…+ ）=n2n﹣1，

∴Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n2n﹣1．

法三：構造函數f （x）=（1+x）n= ，兩邊求導得：

令x=1得： 成立

【解析】（1）三種方法：法一：直接利用組合數的計算公式即可證明． 法二：（構造）從一個裝有n個不同的紅球和1個黃球的口袋中取出m個不同球，共得到 個不同組合，我們可將這些組合分成兩類：一類全是紅球，則從n個紅球中取m個不同的球；一類含有黃球，則從n個紅球中再取出m﹣1個，即可得出．法三（構造）分別求（1+x）n+1和（1+x）（1+x）n的展開式中xm的系數，利用二項式定理的展開式即可得出．（2）法一：倒序相加法；法二：公式法：利用公式 和 ，即可證明．法三：構造函數f （x）=（1+x）n= ，兩邊求導得：令x=1即可證明．