Question

【題目】圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：m），修建此矩形場地圍墻的總費用為y（單位：元）． （Ⅰ）將y表示為x的函數：
（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設矩形的另一邊長為am， 則y=45x+180（x﹣2）+1802a=225x+360a﹣360．
由已知ax=360，得 ，
所以 ．
（II）因為x＞0，所以 ，
所以 ，當且僅當 時，等號成立．
即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．

【解析】（I）設矩形的另一邊長為am，則根據圍建的矩形場地的面積為360m2 ， 易得 ，此時再根據舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用y表示成x的函數的解析式；（II）根據（I）中所得函數的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍墻的總費用最小值，及相應的x值．