Question

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC₁的中點，F是AB的中點，AC＝BC＝1，AA₁＝2.

(1)求證：CF∥平面AB₁E；
(2)求三棱錐C－AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：取AB₁的中點G，連接EG，FG，

∵F、G分別是AB、AB₁的中點，
∴FG∥BB₁，FG＝BB₁.
∵E為側棱CC₁的中點，
∴FG∥EC，FG＝EC，
∴四邊形FGEC是平行四邊形，
∴CF∥EG，∵CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E.
(2)∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥平面ABC.
又AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵BB₁∩BC＝B，∴AC⊥平面EB₁C，∴AC⊥CB₁，
∴VA－EB₁C＝ S△EB₁C·AC
＝××1＝.
∵AE＝EB₁＝，AB₁＝，∴S△AB₁E＝，
∵VC－AB₁E＝VA－EB₁C，∴三棱錐C－AB₁E在底面AB₁E上的高為.