Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=a,BC=a，以對角線AC為折線將直角三角形ABC向上翻折到三角形APC的位置（B點與P點重合），P點在平面ACD上的射影恰好落在邊AD上的H處．

（1）求證：PA⊥CD；
（2）求直線PC與平面ACD所成角的正切值．

Answer 1

(1)詳見解析，(2).

試題分析：(1)折疊問題，首先要明確折疊前后量的變化，尤其是垂直條件的變化，本題要證明線線垂直，首先找線面垂直，因為關于垂直條件較多，所以考慮證明面，折疊前后都有條件,而折疊后面，因此可由線面垂直得到 ，這樣就可由線面垂直判定定理證到面 ，(2)求線面角，關鍵作出面的垂線.本題簡單，因為面，所以直線PC與平面ACD所成角就為,下面只需在直角三角形中解出的正切值就可.
試題解析：(1) 證明: 由題設，平面ACD,平面PAD平面ACD，    3分
交線為AD，又CDAD，CD平面PAD，PA平面PAD，CDPA  6分
（2）連接CH，則PCH為直線PC與平面ACD所成的角。
作HGAC，垂足為G，連接PG，則AC平面PHG ACPG，  9分
又在矩形ABCD中，AB=a，BC=a,
在直角PGA中，PA=a,AG=
在直角HAG中，AH==，又AC="2a,"      2分
在直角CAH中，根據余弦定理可得，CH=,
在直角 PHA中可得PH=，tan      13分