Question

【題目】設命題p：x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命題q：圓x2+y2=a2與圓（x+3）2+（y﹣4）2=4外離．如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：p：不等式ax2+ax+1＞0（a≠0）對x∈R恒成立，
∴
∴0＜a＜4．
q：設兩個圓的圓心距為d．
∴ ．
∵兩圓外離，
∴d＞|a|+2，
∴|a|＜3，
∴﹣3＜a＜3．
∵命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，
∴p，q一真一假．
①p真q假時， ，
∴3≤a＜4
②p假q真時， ，
∴﹣3＜a≤0．
綜上所述，實數a的取值范圍為（﹣3，0]∪[3，4）
【解析】分別求出命題p，q為真時實數a的取值范圍．再由命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，p，q一真一假，可得實數a的取值范圍．
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．