Question

【題目】對于集合 ，定義了一種運算“ ”，使得集合 中的元素間滿足條件：如果存在元素 ，使得對任意 ，都有 ，則稱元素 是集合 對運算“ ”的單位元素．例如： ，運算“ ”為普通乘法；存在 ，使得對任意 ，都有 ，所以元素 是集合 對普通乘法的單位元素．
下面給出三個集合及相應的運算“ ”：
② ，運算“ ”為普通減法；
② 表示 階矩陣， }，運算“ ”為矩陣加法；
③ （其中 是任意非空集合），運算“ ”為求兩個集合的交集．
其中對運算“ ”有單位元素的集合序號為（ ）
A.①②；
B.①③；
C.①②③；
D.②③．

Answer 1

【答案】D
【解析】解：A、對于①，若 ，運算“⊕”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；對于②， A = { A m × n | A m × n 表示 m × n 階矩陣 ， m ∈ N * ， n ∈ N * } ，運算“⊕”為矩陣加法，其單位元素為全為0的矩陣；A不符合題意；
B、對于①，若 A = R ，運算“⊕”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；③ A = { X | X M } （其中 M 是任意非空集合），運算“⊕”為求兩個集合的交集， 其單位元素為集合 M ．B不符合題意；
C、對于①，若 A = R ，運算“⊕”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；對于②， A = { A m × n | A m × n 表示 m × n 階矩陣 ， m ∈ N * ， n ∈ N * } ，運算“⊕”為矩陣加法，其單位元素為全為0的矩陣；③ A = { X | X M } （其中 M 是任意非空集合），運算“⊕”為求兩個集合的交集， 其單位元素為集合 M ．C不符合題意；
D、對于②， 表示 階矩陣 ，運算“⊕”為矩陣加法，其單位元素為全為0的矩陣； ③ （其中 是任意非空集合），運算“⊕”為求兩個集合的交集， 其單位元素為集合 ． D符合題意。
故答案為：D.

集合中常用的運算包括：集合交換律、集合結合律、集合分配律、集合對偶律、集合的摩根律、集合吸收率以及集合求補律等。