Question

【題目】在直角坐標系xOy中，設拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為直線l，點A、B在直線l上，點M為拋物線E第一象限上的點，△ABM是邊長為 的等邊三角形，直線MF的傾斜角為60°．
（1）求拋物線E的方程；
（2）如圖，直線m過點F交拋物線E于C、D兩點，Q（2，0），直線CQ、DQ分別交拋物線E于G、H兩點，設直線CD、GH的斜率分別為k1、k2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABM是邊長為 的等邊三角形，∴|AB|=|AM|=|BMF|=4，

如圖1，作MM′⊥l于點M′，FN⊥MM′于點N

由拋物線的定義知|MF|=|MM′|=4，

∵直線MF的傾斜角為60°，∴∠MFx=∠FMM′=600

所以|MN|=|MM′|﹣||NM′|=2，所以p=|MN|=2

所以拋物線E的方程y2=4x

（2）解：設直線CD的方程為x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2）

聯立 y2﹣4my﹣4=0

△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，{y1y2=﹣4

因為點C在拋物線E：y2=4x上，所以點C的坐標 ，

所以kCQ= ，

所以直線CQ的方程為：y﹣0= ，即x= ，

聯立把x= 代入y2=4x，解得G（ ）同理可得，H（ ），

所以 ，

所以

【解析】（1）由△ABM是邊長為 的等邊三角形，得|AB|=|AM|=|BMF|=4，如圖1，作MM′⊥l于點M′，FN⊥MM′于點N，由拋物線的定義知|MF|=|MM′，由|MN|=|MM′|﹣||NM′|=2，得p=|MN|；（2）設直線CD的方程為x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），聯立 y2﹣4my﹣4=0得C的坐標 ，kCQ= ，寫出直線CQ的方程，得G、H坐標即可．