Question

【題目】已知圓與軸交于兩點(diǎn)，且（為圓心），過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若，求的取值范圍；

（Ⅲ）若向量與向量共線(xiàn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由圓的方程得到圓心坐標(biāo)和；根據(jù)、為等腰直角三角形可知，從而得到，解方程求得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)方程為；利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得圓心到直線(xiàn)距離；由垂徑定理可得到，利用可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（Ⅲ）直線(xiàn)方程與圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線(xiàn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)可根據(jù)得到的取值范圍；設(shè)，，利用韋達(dá)定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共線(xiàn)定理可得到關(guān)于的方程，解方程求得滿(mǎn)足取值范圍的結(jié)果.

（Ⅰ）由圓得：

圓心，

由題意知，為等腰直角三角形

設(shè)的中點(diǎn)為，則也為等腰直角三角形

，解得：

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)方程為：

則圓心到直線(xiàn)的距離：

由，，可得：，解得：

的取值范圍為：

（Ⅲ）聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程：

消去變量得：

設(shè)，，由韋達(dá)定理得：

且，整理得：

解得：或

，

與向量共線(xiàn)， ，

解得：或

不滿(mǎn)足