Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程為：，直線的方程為.

（1）求證：直線恒過定點；

（2）當直線被圓截得的弦長最短時，求直線的方程；

（3）在（2）的前提下，若為直線上的動點，且圓上存在兩個不同的點到點的距離為，求點的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2).

(3).

【解析】分析：（1）直線l可理解為過定點的直線系，求出直線恒過的定點；

（2）說明直線l被圓C截得的弦長最短時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可得到直線的方程；．

（3）問題可轉化為以為圓心， 為半徑畫圓，當圓與圓相交時滿足題意.

詳解：（1），

由 得 ，

即直線過定點M.

（）方法一：由題意可知：圓心C：，

，

又當所截弦長最短時， ，

.

方法二：∵圓心到直線的距離，

，

設弦長為，則，

當所截弦長最短時， 取最大值，

∴，令，

．

令

，

當時， 取到最小值．

此時， 取最大值，弦長取最小值，

直線上方程為．

（）設，

當以為圓心， 為半徑畫圓，當圓與圓剛好相外切時，

，

解得或，

由題意，圓與圓心有兩個交點時符合題意，

∴點橫坐標的取值范圍為．