Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，為正三角形，且側面PAB⊥底面ABCD， 為線段的中點， 在線段上.

（I）當是線段的中點時，求證：PB // 平面ACM；

（II）求證： ；

（III）是否存在點，使二面角的大小為60°，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；(Ⅲ)當時，二面角的大小為60°.

【解析】試題分析：(1) 連接BD交AC于H點，由三角形中位線性質得MH // BP ，再根據線面平行判定定理得結論(2)由面面垂直性質定理得PE⊥平面ABCD，即得；（3）先根據條件建立空間直角坐標系，設列各點坐標，由方程組解得各面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，再根據二面角與法向量之間關系列方程，解得的值

試題解析：（I）證明：連接BD交AC于H點，連接MH，

因為四邊形ABCD是菱形，

所以點H為BD的中點.

又因為M為PD的中點，

所以MH // BP.

又因為 BP 平面ACM, 平面ACM.

所以 PB // 平面ACM.

（II）證明：因為為正三角形，E為AB的中點，

所以PE⊥AB .

因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE平面PAB，

所以PE⊥平面ABCD.

又因為平面，

所以.

(Ⅲ) 因為ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是AB的中點，

所以CE⊥AB .

又因為PE⊥平面ABCD，

以為原點，分別以為軸，

建立空間直角坐標系，

則， ，

， ， ．

假設棱上存在點，設點坐標為， ，

則，

所以，

所以， ，

設平面的法向量為，則

，解得．

令，則，得．

因為PE⊥平面ABCD，

所以平面ABCD的法向量，

所以．

因為二面角的大小為60°，

所以，

即，

解得，或（舍去）

所以在棱PD上存在點，當時，二面角的大小為60°．