【題目】已知函數
， 
，其中
為自然對數的底數.
（Ⅰ）討論函數
的單調性.
（Ⅱ）試判斷曲線
與
是否存在公共點并且在公共點處有公切線.若存在，求出公切線
的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
.
【解析】試題分析：
(1)對函數求導可得
，求解不等式
和
可得
在
上單調遞減，在
上單調遞減，在
上單調遞增.
(2)假設曲線
與
存在公共點且在公共點處有公切線，由題意可知
，據此有式即
.結合函數
， 
的性質可知方程
在
上有唯一實數根
，據此可得曲線
與
的公切線
的方程為
.
試題解析：
（Ⅰ）
，令
得
.
當
且
時， 
；當
時， 
.
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞減，在
上單調遞增.
（Ⅱ）假設曲線
與
存在公共點且在公共點處有公切線，且切點橫坐標為
，則
，即
，其中（2）式即
.
記
， 
，則
，得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，又
， 
， 
，故方程
在
上有唯一實數根
，經驗證也滿足（1）式.
于是， 
， 
，曲線
與
的公切線
的方程為
，即
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2017·太原三模)已知等比數列{an}的各項均為不等于1的正數，數列{bn}滿足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，則數列{bn}的前n項和的最大值為( )
A. 126 B. 130 C. 132 D. 134
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018河南安陽市高三一模】如下圖，在平面直角坐標系
中，直線
與直線
之間的陰影部分即為
，區域
中動點
到
的距離之積為1．
（Ⅰ）求點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）動直線
穿過區域
，分別交直線
于
兩點，若直線
與軌跡
有且只有一個公共點，求證： 
的面積恒為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正項等比數列{an}(n∈N*)，首項a1＝3，前n項和為Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）數列{nan}的前n項和為Tn，若對任意正整數n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取
個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下．根據壽命將燈泡分成優等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于
天的燈泡是優等品，壽命小于
天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品．
壽命（天） | 頻數 | 頻率 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
合計 |
|
|
（Ⅰ）根據頻率分布表中的數據，寫出
， 
的值．
（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機地購買了
個，求
個燈泡中恰有一個是優等品的概率．
（Ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了
個進行使用，若以上述頻率作為概率，用
表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，
為正三角形，且側面PAB⊥底面ABCD， 
為線段
的中點， 
在線段
上.
（I）當
是線段
的中點時，求證：PB // 平面ACM；
（II）求證： 
；
（III）是否存在點
，使二面角
的大小為60°，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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