Question

【題目】已知為函數的導函數，且.

（1）判斷函數的單調性；

（2）若，討論函數零點的個數.

Answer 1

【答案】(1) 時， 單調遞減， 時， 單調遞增(2) 當時， 有一個零點；當和或時， 有兩個零點，當且， 由三個零點.

【解析】試題分析：(1)首先明確的表達式，求出在上單調遞增，且，從而得到的單調區間；

（2）由，得或，若，即，

轉而判斷直線與的交點個數即可.

試題解析：

（1）對，求導可得，

所以，與是，所以，

所以，

于是在上單調遞增，注意到，

故時， 單調遞減， 時， 單調遞增.

（2）由（1）可知，

由，得或，

若，則，即，

設

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

分析知時， 時， 時， ，

現考慮特殊情況：

①若直線與相切，

設切點為，則 ，整理得，

設，顯然在單調遞增，

而，故，此時.

②若直線過點，由，則，則，

結合圖形不難得到如下的結論：

當時， 有一個零點；

當和或時， 有兩個零點，

當且， 由三個零點.