Question

【題目】記所有非零向量構成的集合為V，對于 ， ∈V， ≠ ，定義V（ ， ）=|x∈V|x =x |
（1）請你任意寫出兩個平面向量 ， ，并寫出集合V（ ， ）中的三個元素；
（2）請根據你在（1）中寫出的三個元素，猜想集合V（ ， ）中元素的關系，并試著給出證明；
（3）若V（ ， ）=V（ ， ），其中 ≠ ，求證：一定存在實數λ1 ， λ2 ， 且λ1+λ2=1，使得 =λ1 +λ2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：比如 =（1，2）， =（3，4），設 =（x，y），

由 = ，可得x+2y=3x+4y，

即為x+y=0，

則集合V（ ， ）中的三個元素為（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）

（2）解：由（1）可得這些向量共線．

理由：設 =（s，t）， =（a，b）， =（c，d），

由 = ，可得as+bt=cs+dt，

即有s= t，

即 =（ t，t），

故集合V（ ， ）中元素的關系為共線

（3）解：證明：設 =（s，t）， =（a，b）， =（c，d），

=（u，v）， =（e，f），

若V（ ， ）=V（ ， ），

即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，

解得a= c+ e+ ，

可令d=f，可得λ1= ，

λ2= ，

則一定存在實數λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得 =λ1 +λ2

【解析】（1）比如 =（1，2）， =（3，4），設 =（x，y），運用數量積的坐標表示，即可得到所求元素；（2）由（1）可得這些向量共線．理由：設 =（s，t）， =（a，b）， =（c，d），運用數量積的坐標表示，以及共線定理即可得到；（3）設 =（s，t）， =（a，b）， =（c，d）， =（u，v）， =（e，f），運用新定義和數量積的坐標表示，解方程可得a，即可得證．