Question

【題目】已知數列中， ，前項和滿足（）．

⑴ 求數列的通項公式；

⑵ 記，求數列的前項和；

⑶ 是否存在整數對（其中， ）滿足？若存在，求出所有的滿足題意的整數對；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) ， ， ．

【解析】試題分析： 當時,可得（），而當時，

（），可得到數列是首項為，公比也為的等比數列，從而可求數列的通項公式；

由知，代入，對通項公式進行裂項，即可求得數列的前項和；

要求出所有的滿足題意的整數對，根據題目意思表達出關于的表達式，

然后進行討論。

解析：⑴ 當時， 與相減，

得，即（），

在中，令可得， ，即；

故（），

故數列是首項為，公比也為的等比數列，其通項公式為；

⑵由⑴ 知，

，

則．

⑶，即，

即，

若存在整數對，則必須是整數，其中只能是的因數，

可得時， ； 時， ； 時， ；

綜上所有的滿足題意得整數對為， ， ．